Bertrand’s paradox and Maximum ignorance principle

http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_paradox_%28probability%29

前面的那些在概率论课本上就可以看到了吧。不过 Edwin Jaynes 的解法(更重要的是看法)就没看到过了吧。变换下的不变性真是神物啊。

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3 Responses to Bertrand’s paradox and Maximum ignorance principle

  1. Kane says:

    哦这个赞… 概率课上的确提过这个Paradox,但用不变性解释还真没有话说徐老板现在工作中还会用到这些数学么…?顺便真巧,昨天晚上我在考虑一个关于采样的问题的时候,联想到另一个问题,和你这个问题某种意义下有点类似:为什么角度的度量用弧度制是最自然的呢?我的解释是:一般地,对某种度量的角度x,有d(sinx)/dx = k*cosx,k是个常数,不同的角度度量下k不一样,比如如果用角度制测量的值x度来取sin作为一个函数映射的话,k就是Pi/180,“最自然的”度量应该是k=1的度量虽然这样解释好像差不多了,但我感觉还是不够牢固,于是想了个办法。在原点做一个半径R的圆,取一个锐角x(某种度量下),对应圆周上的点往x轴做垂线,长度就是Rsinx。x有增量dx后,圆周上划过距离dl,用微元法知垂线段的长度增加了dl*cosx如果我们要求sinx’=cosx,那么就有d(Rsinx)=Rcosxdx=dl*cosx消去cosx,就得到dx=dl/R,即最为自然的那种度量,必须满足角度的微分等于弧长微分除以半径,这正是弧度制嘛其实中间微元法的那块高阶小量什么的问题多多,还有很多地方可能引用了不该用的结论,不过对我来说感觉解释到这一步就足够说服自己了orz

  2. Weidong says:

    工作中完全不用。。。sigh。。。所以很无聊么。。。嗯,弧度大概就是这样为了方便吧。单位什么的光方便就足够解释了。嘛,用微元法拿到的 sin'(x) = cos(x) 好像是稍微超前了点。话说 sin(x) ~ x 够不够呢。我的第一反应是从欧拉公式和 e^z 去考虑。不过再想了一会这些至少要等三角函数的泰勒展开出来后才能用。看来三角函数的处理还是第一位的。呵,想到一个几年前看到的一个类似的东西了。物理常数的第一位非0数字的分布是怎样的呢?提示,还是有一个不太会想到的不变性。

  3. Kane says:

    哦照你这么一说sin(x)~x就结束了,角度很小的时候垂线和弧长接近。我一开始也想过欧拉公式和指数的定义,应该可以做。不过就像你说的,这些分析都建立在sin已经定义好函数的基础上,这要求先定义好角度的度量。当然可以先定义然后来验证,我只是想不要先验地定义,而是去把弧度制“找出来”,过程好看一点而已…其实我很好奇,我们学工科的到了企业工作究竟平时都干些啥呢。。?物理常数的问题,我在bi群里问了问,平罗说是不是写在公式左边右边的等概率性… 所以期望应该是sqrt(10)…

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