Galois Theory

原来大学的时候看的是 Emil Artin 的书。最近一时兴起又过了次 Harold Edwards 的 Galois Theory。

相较于常见的从定理1推到定理100的教材,Edwards 的处理更注重历史和原作,还有叙述的流畅性。

由于受众定位是研究生,所以作者可以跳过一些必要和更多的不必要的定义和定理。而对于读者来说,只要熟悉一点 域(field) 的定义,同样可以通读并理解全文,因为对于之上的知识 Edwards 都在正文或者脚注里给出了简要的定义和解释。这样全文的线索几乎没有被打断过,有一气呵成之感。只有一处 Edwards 用了十来节的篇幅叙述了Galois理论的更严格的基础(分裂域等)。

相对于一般对Galois理论的现代版的叙述,Edwards 则是从历史和文献的角度入手的。他从 Newton 对对称多项式的研究开始,Lagrange预解式,Gauss 的n次单位根的解法,最后是 Galois理论,和作为推论和应用的一般5次多项式的不可解性。附录中甚至还录入了 Galois 的原作(只有13页)。
Galios理论部分,Edwards 在尊重 Galios 原作的结构的同时设法补上了被 Galios “显然”掉或者直接忽略过去的证明。

流畅归流畅,如果要加深理解的话习题的演算和一些参考资料还是必须的。

Galios理论建立了域和群之间的联系,并完美的给出了多项式方程可解性的判定条件。
于是终于知道为什么当年讲群论的时候老师证完 A5(5次交错群)是非交换群之后顺口就说这就是5次多项式不可解的原因(S5(5次对成群)的合成列只有 S5 > A5 > {e},但 {e} 不是 A5 的正规子群)。

最后八卦一下,Paolo Ruffini 是因为论文太长(500页,于是 Cauchy 看不下去了)于是被无视,而 Évariste Galios 则是论文太短(就13页,于是 Poisson 看不懂了)还是被无视。名气不够响还真是倒霉啊。

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